Ответы к тесту по линейной алгебре

Вопрос 1. Квадратичная форма f (x) = x^TAx, где x = (x₁, ..., x_n) ^T неотрицательно определенная, если для любого ненулевого столбца х выполняется неравенство

• Ответ: f (x) >= 0

Вопрос 2. Множество собственных векторов, отвечающих собственному значению l линейного оператора А: L ® L, является в L

• Ответ: линейным подпространством

Вопрос 3. Квадратная матрица К называется невырожденной, если ее определитель удовлетворяет условно

• Ответ: det K ¹ 0

Вопрос 4. Пусть l₁, l₂, ..., l_n — собственные значения линейного оператора А, тогда собственными значениями оператора А² будут:

• Ответ: l₁², l₂², ..., l_n²

Вопрос 5. Отображение А: R² ® R², заданное выражением Ах = (х² — у, у), является:

• Ответ: нелинейным

Вопрос 6. Подмножество данного линейного пространства, замкнутое относительно линейных операций, введенных в данном линейном пространстве, является:

• Ответ: линейным подпространством

Вопрос 7. Все корни характеристического уравнения самосопряженного оператора

• Ответ: действительные

Вопрос 8. Отображение А: R² ® R², заданное выражением Аа = (х+у, х-у), где а={х, у} является:

• Ответ: линейным

Вопрос 9. В линейном пространстве С_{[a, b]} функций, непрерывных на отрезке [a, b], линейно независимой является система функций:

• Ответ: 1, sin x, cos x

Вопрос 10. Матрица линейного оператора А, действующего в некотором линейном пространстве, является в данном базисе диагональной тогда и только тогда, когда все векторы этого базиса являются ...

• Ответ: собственными для А

Вопрос 11. Максимальное число линейно независимых вектор-столбцов (строк) называется:

• Ответ: рангом матрицы

Вопрос 12. Если в матрице число строк равно числу ее столбцов, то такая матрица называется:

• Ответ: квадратной

Вопрос 13. Если в матрице все элементы главной диагонали равны единице, а все остальные элементы — нулевые, то такая матрица называется:

• Ответ: единичной

Вопрос 14. Если А и В — два линейных оператора, действующих в евклидовом пространстве Е, то оператор (АВ) *, сопряженный произведению этих операторов, равен:

• Ответ: В*А*

Вопрос 15. Если собственные значения линейного оператора А: L ® L попарно различны, тогда система соответствующих им собственных векторов

• Ответ: линейно независимая

Вопрос 16. Если существуют произведения АВ и ВА, причем АВ = ВА, то матрицы А и В называют:

• Ответ: перестановочными

Вопрос 17. Если характеристическое уравнение квадратной матрицы порядка n имеет n попарно различных действительных корней, то эта матрица подобна некоторой матрице

• Ответ: диагональной

Вопрос 18. Если характеристическое уравнение линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве, имеет n попарно различных действительных корней, то существует базис, в котором матрица этого оператора является ...

• Ответ: диагональной

Вопрос 19. Совокупность m · n действительных чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, где m — число строк, n — число столбцов таблицы, называется:

• Ответ: прямоугольной матрицей

Вопрос 20. Отображение А: L ® L называют линейным оператором, если выполнено условие

• Ответ: А (aх + bу) = aА (х) + bА (у)

Вопрос 21. Отображение А: R¹ ® R¹, заданное выражением Ах = sin х, является:

• Ответ: нелинейным

Вопрос 22. Матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе из его собственных векторов является:

• Ответ: диагональной

Вопрос 23. В линейном пространстве К₃[x] многочленов переменной х степени не выше третьей элемент х² + 7х + 9х³ + 3 имеет в базисе 1, х, х², х³ координаты:

• Ответ: 3, 7, 1, 9

Вопрос 24. В линейном пространстве К₃[x] многочленов переменной х степени не выше третьей элемент 3х² + 8х + 4х³ + 5 имеет в базисе 1, х, х², х³ координаты:

• Ответ: 5, 8, 3, 4

Вопрос 25. В линейном пространстве К₃[x] многочленов переменной х степени не выше третьей элемент 5х² + 2х + 4х³ + 3 имеет в базисе 1, х, х², х³ координаты:

• Ответ: 3, 2, 5, 4

Вопрос 26. В евклидовом пространстве при переходе из одного ортонормированного базиса в другой с матрицей перехода U формулу преобразования матрицы линейного оператора можно записать в виде:

• Ответ: А₁ = U^ТАU

Вопрос 27. Из перечисленных матриц, можно перемножить:

• Ответ: А₄₃
• Ответ: В₃₅

Вопрос 28. Квадратичная форма канонического вида не имеет в своей записи

• Ответ: попарных произведений переменных

Вопрос 29. В линейном пространстве V₂ любые два коллинеарных вектора:

• Ответ: линейно зависимы

Вопрос 30. Определитель произведения двух квадратных матриц одного порядка равен:

• Ответ: произведению определителей этих матриц

Вопрос 31. Если А = (а_ij) _nn квадратная матрица, то побочную диагональ образуют элементы

• Ответ: а_1n, а_2n-1, ..., а_n1

Вопрос 32. Квадратные матрицы А и В порядка n называют подобными, если существует такая невырожденная матрица Р, что ...

• Ответ: Р^-1АР = В

Вопрос 33. Матрицы А_b и А_е линейного оператора А: L ® L, записанные в базисах b и е линейного пространства L, для которых матрица перехода равна U, связаны друг с другом соотношением

• Ответ: А_е = U^-1 А_b U

Вопрос 34. Матрица тождественного оператора независимо от выбора базиса в линейном пространстве является единичной

• Ответ: квадратной матрицей

Вопрос 35. Отображение А: R² ® R², заданное выражением Ах = (-у, -х), где а={х, у} является:

• Ответ: линейным

Вопрос 36. Элемент матрицы Грама определяется формулой

• Ответ: g_ij = (е_i, е_j)

Вопрос 37. Отображение А: R² ® R², заданное выражением Ах = (хсos a, ysin a), где а — некоторый фиксированный угол, является:

• Ответ: линейным

Вопрос 38. В линейном арифметическом пространстве система векторов е₁ = (1, 0, ..., 0), е₂ = (0, 1, 0, ..., 0), ..., е_n = (0, 0, ..., 1) является:

• Ответ: линейно независимой

Вопрос 39. В евклидовом пространстве матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является:

• Ответ: ортогональной

Вопрос 40. При транспонировании матрицы ее определитель

• Ответ: не меняется

Вопрос 41. Нормированное пространство — это линейное пространство, в котором задана норма ...

• Ответ: вектора

Вопрос 42. Если в какой-нибудь строке матрицы прибавить другую ее строку, умноженную на число, то определитель этой матрицы

• Ответ: не меняется

Вопрос 43. Матрицей линейного оператора, обратного оператору А, действующему в линейном пространстве L и имеющему в некотором базисе матрицу А, будет в том же базисе матрица

• Ответ: А^-1

Вопрос 44. Размер матрицы С = А₁₂ · В₂₃ равен:

• Ответ: С₁₃

Вопрос 45. В линейном пространстве С_{[-2, 2]} функций, непрерывных на отрезке [-2, 2], линейно независимой является система функций:

• Ответ: 1, x-1, (x-1) ², (x-1) ³

Вопрос 46. Матрица В называется обратной для матрицы А (квадратная порядка n), если выполняется условие

• Ответ: АВ = ВА = Е

Вопрос 47. Квадратную матрицу Q называют ортогональной, если она удовлетворяет условию Q^ТQ = А, где матрица А

• Ответ: единичная

Вопрос 48. Если матрица А₅₄, то из перечисленных матриц, транспонированными к А могут являться:

• Ответ: N₄₅
• Ответ: С₄₅

Вопрос 49. Если матрицы А и В подобны В = Р^-1АР, то ...

• Ответ: det A = det B

Вопрос 50. Квадратичная форма f (x) = x^TAx, где x = (x₁, ..., x_n) ^T положительно определенная, если для любого ненулевого столбца х выполняется неравенство

• Ответ: f (x) > 0

Вопрос 51. Матрица, транспонированная к ортогональной матрице, является матрицей

• Ответ: ортогональной

Вопрос 52. В линейном пространстве С_{[-1, 1]} функций, непрерывных на отрезке [-1, 1], линейно независимой является система функций:

• Ответ: 1, x, x²

Вопрос 53. Число собственных значений симметрической матрицы порядка n с учетом их кратности k равно числу

• Ответ: n

Вопрос 54. Матрицей оператора А*: Е ® Е, сопряженного к оператору А: Е ® Е, является матрица

• Ответ: А^Т

Вопрос 55. Пусть А: L ® L — линейный оператор. Тогда столбец у координат вектора у = А (х) в заданном базисе b линейного пространства L выражается через столбец координат вектора х и матрицу А линейного оператора формулой

• Ответ: у = Ах

Вопрос 56. Матрица, обратная к ортогональной, является матрицей

• Ответ: ортогональной

Вопрос 57. Пусть в произвольном линейном пространстве даны два вектора с₁ и с₂ и пусть векторы а = 2с₁ + 3с₂, е = с₁ + 5с₂, у = 3с₁ — 2с₂. Тогда система векторов а, е, у:

• Ответ: линейно зависима

Вопрос 58. Пусть в произвольном линейном пространстве даны два вектора с₁ и с₂ и пусть векторы а = 5с₁ + 3с₂, е = -с₁ + 2с₂, у = 7с₁ — 3с₂. Тогда система векторов а, е, у:

• Ответ: линейно зависима

Вопрос 59. Из перечисленных матриц, можно перемножить:

• Ответ: К₃₁
• Ответ: С₁₅

Вопрос 60. Из перечисленных матриц, можно перемножить между собой:

• Ответ: L₁₃
• Ответ: К₁₁

Вопрос 61. Если А = (а_ij) _nn квадратная матрица, то главную диагональ образуют элементы

• Ответ: а₁₁, а₂₂, ..., а_nn

Вопрос 62. Любая симметрическая матрица М порядка n подобна некоторой

• Ответ: диагональной

Вопрос 63. Характеристическим уравнением матрицы А называется уравнение

• Ответ: det (A -lЕ) = 0

Вопрос 64. Линейный оператор А*: Е ® Е называется сопряженным к линейному оператору А: Е® Е, если для любых векторов х, у Î Е верно равенство

• Ответ: (Ах, у) = (х, А*у)

Вопрос 65. Если матрица линейного оператора в некотором ортогональном базисе ортогональна, то этот оператор

• Ответ: ортогональный

Вопрос 66. При умножении всех элементов некоторой строки матрицы на число определитель исходной матрицы

• Ответ: умножается на это число

Вопрос 67. Векторы (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) из пространства V₃

• Ответ: ортогональны

Вопрос 68. Для того чтобы квадратичная форма f (х) = x^TAx от n переменных была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы для угловых миноров матрицы А выполнялись неравенства:

• Ответ: D₁ > 0, D₂ > 0, D₃ > 0, ..., D_n > 0

Вопрос 69. Из перечисленных матриц, можно перемножить между собой:

• Ответ: А₂₅
• Ответ: С₅₄

Вопрос 70. В линейном пространстве К₂[x] многочленов переменной х степени не выше второй элемент 2х² + 3х + 4 имеет в базисе 1, х, х² координаты:

• Ответ: 4, 3, 2

Вопрос 71. Два вектора в евклидовом пространстве ортогональны, если их скалярное произведение равно:

• Ответ: 0

Вопрос 72. Для любых векторов х, у евклидова пространства Е справедливо неравенство Коши — Буняковского

• Ответ: (х, у)

Вопрос 73. В линейном пространстве К₂[x] многочленов переменной х степени не выше второй элемент 6х² + 9х + 2 имеет в базисе 1, х, х² координаты:

• Ответ: 2, 9, 6

Вопрос 74. Отображение А: R² ® R², заданное выражением Ах = (-хsin a, ycos a ), где а — некоторый фиксированный угол, является:

• Ответ: линейным

Вопрос 75. Любая ортогональная система ненулевых векторов

• Ответ: линейно независима

Вопрос 76. Для того чтобы квадратичная форма f (х) = x^TAx от n переменных была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства для угловых миноров матрицы А:

• Ответ: -D₁ > 0, D₂ > 0, -D₃ > 0, ..., (-1) ⁿ D_n > 0

Вопрос 77. Линейный оператор А, действующий в евклидовом пространстве Е, называют ортогональным оператором, если он сохраняет в Е

• Ответ: скалярное произведение

Вопрос 78. Ненулевой вектор х в линейном пространстве L называют собственным вектором линейного оператора А: L ® L, если для некоторого действительного числа l выполняется соотношение

• Ответ: Ах = lх

Вопрос 79. Любую квадратическую форму можно привести к каноническому виду преобразованием

• Ответ: ортогональным

Вопрос 80. Если оператор А, действующий в евклидовом пространстве Е, переводит ортонормированный базис в ортонормированный, то этот оператор

• Ответ: ортогональный

Вопрос 81. Если система векторов линейно независима, то ее матрица Грама

• Ответ: невырожденная

Вопрос 82. Если две строки матрицы равны, то ее определитель

• Ответ: det = 0

Вопрос 83. Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям

• Ответ: ортогональны

Вопрос 84. В линейном пространстве любой вектор можно разложить по данному базису:

• Ответ: единственным образом

Вопрос 85. В линейном пространстве V₃ любые три компланарных вектора:

• Ответ: линейно зависимы

Вопрос 86. Метод приведения матриц к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований 1-го и 2-го типа называют методом

• Ответ: Гаусса

Вопрос 87. Отображение А: R² ® R², заданное выражением Аа = (1/х, у), является:

• Ответ: нелинейным

Вопрос 88. Система векторов е₁ = (1, 0, -1); е₂ = (1, 0, 1); е₃ = (0, 1, 0) в евклидовом арифметическом пространстве R³ образует базис

• Ответ: ортогональный

Вопрос 89. В линейном пространстве С_{[0, 2p]} функций, непрерывных на отрезке [0, 2p], линейно независимой является система функций:

• Ответ: 1, sin x, sin² x

Вопрос 90. В линейном пространстве К₃[x] многочленов переменной х степени не выше третьей элемент 3х² + 2х + 4х³ + 2 имеет в базисе 1, х, х², х³ координаты:

• Ответ: 2, 2, 3, 4

Вопрос 91. Обратной к ортогональной матрице Q является матрица

• Ответ: Q^Т

Вопрос 92. В линейном пространстве К₂[x] многочленов переменной х степени не выше второй элемент 7х² + 9х + 5 имеет в базисе 1, х, х² координаты:

• Ответ: 5, 9, 7

Вопрос 93. При перестановке двух строк матрицы определитель

• Ответ: меняет знак

Вопрос 94. Если линейный оператор А, действующий в евклидовом пространстве Е, сохраняет евклидову норму, то этот оператор

• Ответ: ортогональный

Вопрос 95. Если линейный оператор А, действующий в евклидовом пространстве Е, ортогональный, то он переводит ортонормированный базис в:

• Ответ: ортонормированный

Вопрос 96. В линейном пространстве К₂[x] многочленов переменной х степени не выше второй элемент 3х² + 5х + 4 имеет в базисе 1, х, х² координаты:

• Ответ: 4, 5, 3

Вопрос 97. Система уравнений, у которой не существует решения, называется:

• Ответ: несовместной

Вопрос 98. Если матрица А является симметрической, то все корни ее характеристического уравнения

• Ответ: действительные

Вопрос 99. Произведение двух ортогональных матриц одного порядка является матрицей

• Ответ: ортогональной

Вопрос 100. Матрица А имеет порядок m x n, а В — k x d. Чтобы их перемножить, необходимо чтобы ...

• Ответ: n = k

Вопрос 101. Число собственных значений самосопряженного оператора, действующего в n-мерном евклидовом пространстве, равно с учетом их кратности k числу

• Ответ: n

Вопрос 102. Ранг квадратичной формы равен числу коэффициентов в ее каноническом виде

• Ответ: отличных от нуля

Вопрос 103. Если А и В — два линейных оператора, действующих в евклидовом пространстве Е, то оператор (А + В) *, сопряженный сумме этих операторов, равен:

• Ответ: А* + В*

Вопрос 104. Матрица самосопряженного оператора в любом ортонормированном базисе является:

• Ответ: симметрической

Вопрос 105. Размер матрицы К = М₂₄ · N₄₂ равен:

• Ответ: К₂₂

Вопрос 106. Линейный оператор А: Е ® Е называют самосопряженным, если ...

• Ответ: А* = А

Вопрос 107. Если в квадратной матрице все ее элементы, стоящие ниже или выше главной диагонали равны нулю, то эта матрица называется:

• Ответ: треугольной

Вопрос 108. Для того, чтобы действительное число l являлось собственным значением линейного оператора, необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем уравнения

• Ответ: det (A-lЕ) = 0